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Das arithmetische Mittel ist das mit weitem Abstand bekannteste statistische Lagemaß, weswegen es auch als Standardmittelwert bezeichnet wird. Es ist ausschließlich für metrisch skalierte Daten berechenbar.

[Bearbeiten] Grundlagen

Es sollte beachtet werden, dass SPSS und andere Statistikprogramme grundsätzlich auch das arithmetische Mittel aus nominalskalierten und ordinalskalierten Daten berechnen – es ist also rein softwaretechnisch auch möglich, durchschnittliche Telefonnummern oder ähnlich sinnlose Kennwerte zu berechnen. Hier sind daher die methodischen Kenntnisse des Anwenders gefragt, der das Skalenniveau erkennen und entscheiden muss, ob die Berechnung des arithmetischen Mittels sinnvoll vorgenommen werden kann. Dies gilt in besonderem Maße auch für weiterführende Berechnungen, die auf dem arithmetischen Mittel aufbauen oder dieses mit einschließen (wie beispielsweise der Varianzanalyse)

Liegen von einem metrischen Merkmal x insgesamt n Werte vor, berechnet sich das arithmetische Mittel wie folgt:

Es wird also die Gesamtsumme aller Merkmalsausprägungen gebildet und durch die Anzahl der Merkmalsausprägungen geteilt. Die Gesamtsumme aller Abweichungen (der einzelnen Merkmalsausprägungen) vom arithmetischen Mittel beträgt daher stets Null, was einen Einfluss auf die Berechnung der Streuung um das arithmetische Mittel hat.

[Bearbeiten] Interpretation

Das arithmetische Mittel ist nicht robust, d.h. sehr empfindlich gegenüber Ausreißern. Wird zusammen mit drei Dutzend Normalverdienern auch ein Millionär befragt, wird dessen Verdienstangabe den „Durchschnittsverdienst“ deutlich nach oben treiben. Eine gesonderte Ausreißeranalyse ist daher unbedingt durchzuführen, wenn im weiteren Verlauf mit dem arithmetischen Mittel gearbeitet werden soll.

Des weiteren ist zu beachten, dass das arithmetische Mittel nur dann sinnvoll interpretiert werden kann, wenn auch Informationen über die Streuung der Werte vorliegen. Stellt sich beispielsweise bei einer Untersuchung heraus, dass das Durchschnittseinkommen bei 2.500 € liegt, so ist festzustellen, ob die Einkommenswerte generell in der Nähe des Durchschnittswertes liegen, oder zu beiden Richtungen stark abweichen. Die Beachtung der Streuung ist insbesondere für Vergleiche von Lagemaßen von Interesse, damit aus der relativen Übereinstimmung oder der relativen Abweichung zweier Werte keine falschen Schlüsse gezogen werden.

Die Bedeutung der Streuung für die Interpretation des Mittelwertes zeigt sich an folgendem, zu Beispielzwecken stark simplifizierten Fall der Lebenserwartung im Mittelalter: Wie allgemein bekannt ist, wurden die Menschen des Mittelalters „im Durchschnitt“ nicht so alt wie heutige Einwohner westlicher Staaten, das „Durchschnittsalter“ lag um 1500 bei etwa 32 Jahren. Daraus ließe sich eventuell der Schluss ziehen, dass Menschen jenseits der 30 schon froh waren, ein hohes Alter erreicht zu haben und mit 40 oder gar 50 als wahre Methusalems gegolten haben mussten – dem ist allerdings nicht so. Auch um 1500 gab es 70- oder 80jährige Menschen, die keineswegs eine Seltenheit waren, auch wenn ihr Gesamtanteil an der Bevölkerung sicher deutlich geringer war, als dies heute der Fall ist. Der Grund für die niedrige durchschnittliche Lebenserwartung ist vor allem in der hohen Kindersterblichkeit zu suchen, auch wenn die verbesserten hygienischen Bedingungen sowie die medizinischen Fortschritte wie viele andere Faktoren einen Anteil an der Entwicklung haben. Letzten Endes senkt aber eine hohe Kindersterblichkeit stets die durchschnittliche Lebenserwartung, so dass vermutlich nur die wenigsten Menschen des 16. Jahrhunderts mit oder um die 32 verstarben. Dies zeigt, dass der Standardmittelwert stets mit Sorgfalt und unter Berücksichtigung der Streuung sowie anderer Faktoren, wie beispielsweise der Ausreißer oder auch fehlender Werte zu interpretieren ist.

Festzustellen bleibt, dass das arithmetische Mittel nur dann sinnvoll und richtig interpretiert werden kann, wenn man es nicht einfach als „Durchschnitt“ hinnimmt, sondern während der Interpretation nie vergisst, wie der Wert berechnet wird bzw. welche Effekte auftreten können. Insbesondere ist es wichtig, den Datensatz vor der Berechnung des Standardmittels auf eventuelle Ausreißer zu überprüfen.

[Bearbeiten] Quellen

C. Reinboth: Multivariate Analyseverfahren in der Marktforschung, LuLu-Verlagsgruppe, Morrisville, 2006.

Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I. & Tutz, G. (1999). Statistik. Der Weg zur Datenanalyse (2. Aufl.). Berlin: Springer.