Varianz und Standardabweichung sind die mit Abstand gebräuchlichsten und aussagekräftigsten Streuungsmaße. Da sich die Standardabweichung aus der Varianz ergibt, wird diese zuerst berechnet, und zwar als Summe der quadrierten Abweichungen der Einzelwerte vom arithmetischen Mittel, geteilt durch die Gesamtzahl aller Werte:
Wie man an der Formel erkennen kann, handelt es sich im Grunde um nichts weiter als das arithmetische Mittel der Abweichungen eben von jenem arithmetischen Mittel. Die Quadrierung der Abweichungen ist erforderlich, damit sich die positiven und die negativen Abweichungen nicht gegenseitig aufheben – die Summe aller Abweichungen vom arithmetischen Mittel ist ja stets Null.
Wer die von SPSS ausgegebenen Werte anhand der oben angegebenen Formel „per Hand“ nachrechnet, wird leichte Abweichungen feststellen, die zum einen auf Rundungen und zum anderen darauf zurückzuführen sind, dass SPSS statt der Varianz die Stichprobenvarianz berechnet, statt der Gesamtzahl der Werte also die Freiheitsgrade der Verteilung (N-1) in die Berechnung eingehen:
Betrachtet man beide Formeln genauer, so wird deutlich, dass die Varianz abnimmt, je dichter die beobachteten Einzelwerte am arithmetischen Mittel liegen. Würden alle Werte genau dem arithmetischen Mittel entsprechen ergäbe sich eine Varianz von Null – in einem solchen Fall wäre ja aber auch keinerlei Streuung zu beobachten. In diesem Sinne ist die Varianz eine geeignete Kennzahl für die Streuung der Werte um das Zentrum der Verteilung.
Neben der Varianz lässt sich bei SPSS auch die Standardabweichung mit ausgeben. Wieso wird nun dieses zusätzliche Streuungsmaß noch benötigt?
Da für die Berechnung der Varianz die Abweichungen der beobachteten Einzelwerte vom arithmetischen Mittel quadriert werden, wird die Varianz auch in quadrierten Einheiten wiedergegeben, also beispielsweise Stunden², €² oder $². Da ein solcher Wert nur sehr schwer zu interpretieren ist und seine Bedeutung sich dem Laien nur unter Mühen erschließt, wird in der Regel noch die Standardabweichung als positive Quadratwurzel der Varianz berechnet. Dieses Streuungsmaß ist dann wieder „richtig dimensioniert“ und wesentlich leichter zu interpretieren – man betrachte nur das obige Beispiel. Mit der Angabe, dass die Gehälter im Schnitt 291.578.214 €² um das Durchschnittsgehalt streuen, lässt sich unmittelbar kaum etwas anfangen. Die Aussage, dass die Standardabweichung 17.075 € beträgt ist dagegen leichter nachvollzieh- und damit auch interpretierbar.
Quellen[]
C. Reinboth: Multivariate Analyseverfahren in der Marktforschung, LuLu-Verlagsgruppe, Morrisville, 2006.
Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I. & Tutz, G. (1999). Statistik. Der Weg zur Datenanalyse (2. Aufl.). Berlin: Springer.